آموزش کنترل غیرخطی

در این جا آموزش جامع کنترل غیرخطی بر اساس کتاب اسلاتین به صورت ویدئویی قرار داده شده است. مثالهای متعدد که فراتر از کتاب است و یا در جهت فهم بیشتر مسائل کتاب آورده شده این آموزش را خاص می کند. تحلیل صفحه فاز، تحلیل تابع لیاپانف برای سیستم های خودگردان و سیستم های ناخودگردان، تحلیل توابع توصیفی، خطی سازی دقیق با فیدبک و طراحی مد لغزشی با جزئیات و به همراه شبیه سازی در نرم افزار متلب موضوعاتی هستند که در آموزش کنترل غیرخطی ارائه شده اند.

از مهمترین دروس کارشناسی ارشد درس کنترل غیرخطی هست. در واقع می توان گفت بدون یادگیری درس کنترل غیرخطی تقریبا در هیچ درس دیگری در مقطع کارشناسی ارشد مهندسی برق کنترل نمی توان فهم درستی از مطالب بدست آورد به خاطر همین موضوع هست که این درس جزء دروس اصلی مقطع کارشناسی ارشد می باشد. کنترل غیرخطی یکی از حوزه های جذاب نه تنها در رشته مهندسی کنترل بلکه در رشته های مختلف دیگر از جمله مهندسی مکانیک، مهندسی هوافضا، مهندسی شیمی، مهندسی پزشکی، ریاضیات کاربردی و برخی رشته های دیگر است.

در این پست آموزش کنترل غیرخطی بر اساس کتاب اسلاتین قرار داده شده است. اگر چه این کتاب دارای ایراداتی هست ولی هنوز هم در بسیاری از دانشگاههای ایران و جهان آموزش کنترل غیرخطی براساس همین کتاب هست.

پیشنیاز یادگیری کنترل غیرخطی، دروس زیر هستند:

1. کنترل خطی
2. کنترل مدرن

جلسه 1: اهمیت یادگیری کنترل غیرخطی

در این جلسه به اهمیت درس کنترل غیرخطی پرداخته شده است. تفاوت سیستم های خطی و غیرخطی به طور کامل تشریح، و رفتار سیستم های غیرخطی از جمله آشوب، دوشاخگی، نقاط تعادل چندگانه و غیرخطی گری های سخت بررسی شد. همچنین بک برنامه متلب برای درک بهتر تفاوت سیستم های خطی نوشته شد و نتایج با هم مقایسه شدند.

مدت زمان این جلسه: 76 دقیقه

جلسه 2: مفاهیم صفحه فاز – نقاط تکین- تقارن در صفحه فاز

در این جلسه به چیستی صفحه فاز پرداخته شده است و اینکه مزایا و معایب صفحه فاز چیست. ابتدا به طور کلی گفته شد که تصاویر فاز برای سیستم های مرتبه اول و دوم به چه صورت است سپس مفهوم نقاط تکین گفته شد و برای آن مثالهای متعددی که در کتاب اسلاتین موجود نیست برای سیستم های مرتبه اول گفته شد که برای همه آنها صفحه فاز نیز رسم شد. در ادامه به بحث تقارن در تصاویر فاز پرداخته شد و تقارن نسبت به محور افقی و عمودی و مبدا به همراه مثالهایی ارائه شد.

مدت زمان این جلسه: 68 دقیقه

جلسه 3: رسم تصاویر فاز – روش تحلیلی

در این جلسه به نحوه رسم تصاویر فاز پرداخت شد. از بین دو روش تحلیلی و روش خطوط هم شیب، روش تحلیلی که خود شامل دو تکنیک است به همراه مثالهای کتاب و مثال های ابتکاری به صورت کامل بررسی شد. در این جلسه و جلسات گذشته تمریناتی نیز ارائه شد که شما می توانید در صورت علاقمندی به حل آنها پرداخته و تسلط بیشتری بر این موضوعات داشته باشید.

مدت زمان این جلسه: 64 دقیقه

جلسه 4: رسم تصاویر فاز – روش خطوط هم شیب و تحلیل فاز سیستم های خطی

روش خطوط هم شیب دومین روش رسم تصویر فاز است که در این جلسه به آن پرداخته شده است. دو مثال جرم-فنر و سیستم وندرپل برای این روش حل شد. در ادامه نحوه بدست آوردن زمان از روی تصاویر فاز با دو روش گفته شد که فراتر از مطالبی است که در کتاب گفته شد. تحلیل صفحه فاز برای سیستم های خطی یکی از هداف این فصل بود که در این جلسه به آن پرداخته شد. در انتها نیز با دو روش، نحوه رسم تصاویر فاز به صورت غیردستی آموزش داده شد.

مدت زمان این جلسه: 61 دقیقه

جلسه 5: تحلیل صفحه فاز سیستم های غیرخطی

در این جلسه در ارتباط با تحلیل صفحه فاز سیستم های غیرخطی که هدف اصلی این فصل بوده است بحث شده است. ابتدا چرخه حدی و انواع آن گفته شد سپس 3 مثال برای انواع چرخه های حدی حل شد. قضایای وجود چرخه های حدی موضوعی بود که در ادامه بررسی شد همچنین برای یکی از این قضایا که بسیار مهم هم هست و هیچ مثالی در کتاب برای آن ارائه نشد در این جلسه به طور کامل همراه با مثالهایی موشکافی شد. در پایان نیز جمع بندی فصل ارائه گردید.

مدت زمان این جلسه: 61 دقیقه

جلسه 6: مفاهیم کلی پایداری – سیستم های خودگردان و ناخودگردان – نقاط تعادل

این جلسه شروع فصل سوم است و در آن ابتدا به مفاهیم کلی پایداری پرداخته شد سپس تعریف سیستم های خودگردان و غیرخودگران ارائه شد همچنین تعریف نقاط تعادل در این جلسه به همراه مثالهای عملی و تئوری ارائه گردید.

مدت زمان این جلسه: 50 دقیقه

جلسه 7: حرکت نامی – تعریف پایداری لیاپانف و پایداری مجانبی

ابتدا نحوه تبدیل بررسی پایداری سیستم ها حول حرکت نامی به بررسی پایداری سیستم ها حول یک نقطه تعادل گفته شد سپس مفاهیم پایداری لیاپانف و مجانبی هم از نظر تعریف و هم از نظر هندسی به صورت کامل بررسی شد همچنین حالت هایی که ممکن است سیستم ناپایدار شود نیز به همراه ذکر مثالهایی ارائه شد.

مدت زمان این جلسه: 55 دقیقه

جلسه 8: پایداری نمایی – پایداری سراسری

پایداری نمایی مهمترین موضوعی بود که در این جلسه به آن به صورت کامل پرداخته شد. در انتها نیز پایداری محلی مجانبی و نمایی و همچنین پایداری سراسری مجانبی و نمایی تعریف و بررسی شدند.

مدت زمان این جلسه: 58 دقیقه

جلسه 9: روش خطی سازی لیاپانف

بی شک روش خطی سازی لیاپانف یکی از مهمترین شاهکارهای الکساندر میخایلویچ لیاپانف هست. این روش پایداری کاربردی از روش مستقیم لیاپانف هست که شاید 99 درصد افراد به غلط اون رو روش اول و روش مستقیم رو روش دوم می نامند. در واقع روش نماها روش اول لیاپانف بوده و روش دوم همان روش مستقیم و روش خطی سازی کاربردی از روش مستقیم است. در این جلسه به بحث در مورد روش خطی سازی سیستم های غیرخطی پرداخته شده که برای انواع حالت ها اعم از خطی سازی با ورودی کنترلی بدون ورودی کنترل خطی سازی حول مبدا و خطی سازی حول نقطه کار وقت گذاشته شد. از این جلسه لذت ببرید!

مدت زمان این جلسه: 60 دقیقه

جلسه 10: روش مستقیم لیاپانف

اگر روش مستقیم لیاپانف رو نه تنها قلب کنترل غیرخطی بلکه قلب مهندسی کنترل در مقطع تحصیلات تکمیلی معرفی کنیم پر بیراه نگفتیم. در روش مستقیم لیاپانف یک تابع موسوم به تابع لیاپانف که باید خودش مثبت و مشتق آن منفی باشد پیدا شود در این صورت می توان نتیجه گرفت که سیستم پایدار است. اما موضوع به این سادگی نیست. در این جلسه به صورت مفصل به توضیح این روش پرداخته شده است. با مثالهای فراوان ابعاد کور کتاب اسلاتین را در این بخش پوشش داده شده است. ابتدا فلسفه روش مستقیم گفته شد سپس تابع مثبت معین و تابع لیاپانف به همراه مثال تشریح شدند. سپس پایداری به روش مستقیم لیاپانف گفته شد و مثالهایی در این زمینه زده شد و در پایان موضوع مهم پایداری مجانبی سراسری که به همراه مثال توضیح داده شد موضوعی که در کتاب هیچ مثالی برایش آورده نشد.

مدت زمان این جلسه: 70 دقیقه

جلسه 11: قضیه لاسال یا قضیه مجموعه نامتغیر

قضیه لاسال یا قضیه مجموعه نامتغیر زمانی اهمیت پیدا می کند که تابع لیاپانف مثبت معین باشد و مشتق آن منفی نیمه معین باشد. در این حالت قضیه مستقیم لیاپانف تنها پایداری لیاپانف را اثبات می کند و سخنی در مورد پایداری مجانبی نمی زند. در این حالت است که با استفاده از قضیه لاسال می توان سیستم هایی که پایدار مجانبی هستند ولی با روش مستقیم لیاپانف مجانبی بودن آنها قابل اثبات نیست، را اثبات کرد. قضیه لاسال فقط و فقط برای سیستم های خودگردان (نامتغیر با زمان) قابل استفاده است. در این جلسه ابتدا قضیه لاسال به صورت تصویری به طور کامل تشریح شده است و سپس سه مثال مهم شامل: 1. اثبات پایداری مجانبی وقتی که قضیه مستقیم از اثبات آن عاجز است، 2. بدست آوردن ناحیه جذب، 3. اثبات وجود چرخه حدی، تشریح شده اند. این جلسه از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است زیرا در بسیاری از مقالات از این قضیه برای اثبات پایداری مجانبی سیستم استفاده می شود. نکته آخر اینکه از موضوع جلسه قبل یک مثال و چند تا ریمارک باقی مانده بود که ابتدای این جلسه به آن پرداخته شد. مثال مرتبه اول که در ابتدای این جلسه حل شد آنقدر مهم است که توصیه اکید می شود که این مثال را به صورت فلش کارت در بیاورید و حفظ کنید. در این مثال یک سیستم کلی مرتبه اول به همراه یک فرضیات آورده شده است که اگر سیستم این شرایط را داشته باشد تابع لیاپانف آن را براحتی می توان نوشت.

مدت زمان این جلسه: 84 دقیقه

جلسه 12: قضیه سراسری لاسال – حدس تابع لیاپانف

این جلسه با ارائه قضیه سراسری لاسال آغاز می شود و یک مثال بسیار بسیار مهم از سیستم های مرتبه دوم حل می شود. این یک مثال کلی است و همانند مثال سیستم مرتبه اول باید حفظ شود. اما مثال بعدی یک مثال چالشی برای توابع لیاپانف چند ماهیتی است. با استفاده از شبیه سازی در متلب و رسم تابع لیاپانف مذکور ابعاد تاریک این مثال روشن شده است و براحتی قابل درک شده است.

روش های یافتن تابع لیاپانف که در این آموزش تشریح می شوند عبارتند از: 1. روش گرادیان 2. روش کراسفسکی 3. یافتن تابع لیاپانف با استفاده از انگیزه های فیزیکی 4. تئوری انفعال یا پسیویتی 5. توابع لیاپانف برای سیستم های خطی.

در این جلسه مورد پنجم بررسی شده است

مدت زمان این جلسه: 75 دقیقه

جلسه 13: روش های بدست آوردن تابع لیاپانف و تحلیل عملکرد و کارایی

همانطور که قبلا ذکر شد روش های یافتن تابع لیاپانف که در این آموزش تشریح می شوند عبارتند از: 1. روش گرادیان 2. روش کراسفسکی 3. یافتن تابع لیاپانف با استفاده از انگیزه های فیزیکی 4. تئوری انفعال یا پسیویتی 5. توابع لیاپانف برای سیستم های خطی.

در این جلسه روش های گرادیان متغیر، روش کراسفسکی و یافتن تابع لیاپانف با استفاده از انگیزه های فیزیکی تشریح شدند. روش های گرادیان متغیر و روش کراسفسکی برای سیستم های با مرتبه پایین (عموما یک و دو) کاربرد دارد اما اگر به موضوعات فیزیکی مسلط باشیم و بتوانیم از روش سوم استفاده کنیم حتی برای سیستم های پیچیده و مرتبه بالا مثل ربات های صنعتی قابل استفاده است. در پایان این جلسه یک لم همگرایی ساده توضیح داده می شود که برای تخمین نرخ همگرایی برای سیستم های خطی و غیرخطی بسیار موثر است.

مدت زمان این جلسه: 98 دقیقه

جلسه 14: شروع فصل چهارم:مفاهیم پایداری برای سیستم های ناخودگردان

این جلسه شروع فصل چهارم است. در این فصل همانند فصل سوم به بحث تحلیل پایداری پرداخته می شود با این تفاوت که برای سیستم های ناخودگردان. بر این اساس اغلب تعاریف و قضایای فصل سوم که مربوط به سیستم های خودگردان بود، در این فصل باز تعریف می شوند. در این جلسه مفاهیم پایداری شامل: نقطه تعادل، پایداری لیاپانف، پایداری مجانبی، پایداری نمایی و پایداری مجانبی سراسری مجددا با در نظر گرفتن زمان تعریف می شوند. در پایان یک مثال پارامتری از سیستم های خطی مرتبه اول که یک مقدار ویژه دارد بررسی می شود. 

مدت زمان این جلسه: 62 دقیقه

جلسه 15: یکنواختی در سیستم های ناخودگردان – تحلیل لیاپانف

از جلسه گذشته و از بحث تعریف پایداری ها برای سیستم های ناخودگردان سه مثال حل شده است. اما مشکل تعاریف پایداری که در جلسه گذشته ارائه شد این است که در عمل کاربردی ندارند زیرا همگی به زمان اولیه ربط دارند. در این جلسه یک مفهوم بسیار مهم تحت عنوان “یکنواختی” مطرح می شود که می توان با استفاده از آن مشکل تعاریف پایداری را حل کرد. در این قسمت مجددا مفاهیم پایداری با وجود شرط یکنواختی تعریف می شوند سپس سراغ قضایای پایداری می رویم. روش مستقیم لیاپانف نیاز به تابع لیاپانف دارد از طرفی تابع لیاپانف باید مثبت معین باشد اما مثبت معین بودن برای توابعی که زمان به وضوح در آنها ظاهر شده باشد همانند گذشته نیست. بنابراین توابع مثبت معین نیز بازتعریف می شوند. اما یک مفهوم جدید دیگر به نام “کاهنده بودن توابع لیاپانف” نیز در این فصل تعریف می شود که در قضایای روش مستقیم لیاپانف بسیار کاربرد دارد. پس از همه این مقدمات سرانجام قضیه لیاپانف برای سیستم های ناخودگردان تشریح شده و در پایان یک مثال برای پایداری مجانبی یکنواخت سراسری نیز حل می شود

مدت زمان این جلسه: 65 دقیقه

جلسه 16: تحلیل لیاپانف سیستم های غیرخطی و خطی متغیر با زمان

شرط کاهنده بودن از این جهت اهمیت دارد که اگر این شرط را لحاظ نکنیم نمیتوانیم از دو شرط مثبت معین بودن تابع لیاپانف و منفی معین بودن مشتق آن، پایداری مجانبی را نتیجه بگیریم. این موضوع با یک مثال در ابتدای جلسه نشان داده شده است. همین جا این سوال پیش می آید که با فرض کاهنده “نبودن” و برقراری شرایط مثبت معین بودن تابع لیاپانف و منفی معین بودن مشتق آن چه نتیجه ای می توان گرفت؟ پاسخ این است که حالت ها به صورت گسسته در بی نهایت به صفر میل می کنند و نه پیوسته. این موضوع نیز با یک مثال به صورت کامل تشریح شده است. در ادامه سیستم های خطی متغیر با زمان بررسی می شوند. در این حالت هیچ کدام از روش های کنترل خطی کارایی ندارد. این موضوع با یک مثال ساده نمایش داده شد که اگر مقادیر ویژه یک سیستم اکیدا سمت چپ محور موهومی باشند الزاما سیستم پایدار مجانبی نیست! در ادامه شرط پایداری برای سیستم های خطی متغیر با زمان نیز ارائه می شود اما این شرایط لازم نیستند و فقط شرط کافی هستند. 

مدت زمان این جلسه: 71 دقیقه

جلسه 17: روش خطی سازی سیستم های ناخودگردان

شاید بتوان گفت یکی از مهمترین و کاربردی ترین موضوعاتی که کتاب اسلاتین توضیحات کافی ارائه نکرده است روش خطی سازی سیستم های ناخودگردان است. البته این فقط مختص کتاب اسلاتین نیست کتاب حسن خلیل نیز توضیحات کافی ارائه نکرده است. در این جلسه علاوه بر روش خطی سازی براساس کتاب اسلاتین، توضیحات کتاب حسن خلیل نیز ارائه شده است و همان مثالهایی که در کتاب اسلاتین آورده شده است با روش کتاب خلیل نیز حل شده اند تا ابهامات این بخش کاهش پیدا کند. علاوه بر آن سعی کردم مثالهایی خودم ارائه کنم تا این بحث کاملا جا بیفتد. همچنین قضیه لیاپانف برای خطی سازی نیز ارائه شده است که کاملا متفاوت از قضیه لیاپانف برای سیستم های خطی خودگردان است

مدت زمان این جلسه: 65 دقیقه

جلسه 18: قضایای ناپایداری – وجود توابع لیاپانف

در این جلسه سه قضیه برای اثبات ناپایداری سیستم ها ارائه شده است که این قضایا برای سیستم های خودگردان نیز قابل استفاده هستند. همچنین سه قضیه برای اثبات وجود تابع لیاپانف برای سیستم های پایدار تشریح شده اند.

مدت زمان این جلسه: 64 دقیقه

جلسه 19: تحلیل شبه لیاپانف با استفاده از لم باربالت

برای سیستم های خودگردان وقتی تابع لیاپانف مثبت معین و مشتق آن منفی نیمه معین باشد از قضیایای قدرتمند لاسال استفاده می کردیم و پایداری مجانبی را اثبات می کردیم اما این قضایا برای سیستم های ناخودگردان دیگر صادق نیستند و نمی توان از آنها استفاده کرد اما به طور معادل برای سیستم های ناخودگردان می توان از لم باربالت استفاده کرد و تا حد زیادی این موضوع را پوشش داد. در این جلسه ابتدا در مورد چیستی لم باربالت صحبت شده است سپس این لم ارائه می شود و پس از آن کاربر آن در تحلیل پایداری به صورت لم شبه لیاپانف توضیح داده شد و در پایان نیز مثالهایی از این بحث ارائه شده است.

مدت زمان این جلسه: 65 دقیقه

جلسه 20: شروع مبحث تئوری انفعال یا Passivity: توابع تبدیل مثبت و اکیدا مثبت

تئوری انفعال از موضوعاتی است که به جرات می توان گفت تقریبا در هیچ یک از دانشگاههای کشور آموزش داده نمی شود. به طور خلاصه تئوری انفعال یا Passivity برای تولید توابع لیاپانف برای یک سیستم هایی که به فرم بلوک های فیدبک یا موازی بیان می شوند، است. البته در کنترل تطبیقی برای تولید قوانین تطبیق قوی تر نیز نقش دارد. برای استفاده از مبحث انفعال نیاز داریم که بدانیم یک “تابع تبدیل مثبت” یا PR و “تابع تبدیل اکیدا مثبت” یا SPR به چه معنا هستند و چطور می توان همچین توابعی را از روی توابع تبدیل و فضای حالت آنها تشخیص داد. در این جلسه توابع تبدیل مثبت و اکیدا مثبت تشریح شده اند.

مدت زمان این جلسه: 45 دقیقه

جلسه 21: تئوری انفعال 1

در این جلسه تعریف تئوری انفعال و اتلافی ارائه شده است و کاربرد تئوری انفعال در تولید توابع لیاپانف در ترکیبات بلوکی فیدبک و موازی تشریح شده است.

مدت زمان این جلسه: 53 دقیقه

جلسه 22: تئوری انفعال 2

در ادامه جلسه قبل مثالهایی در این جلسه آورده شده است و در پایان ارتباط مبحث تئوری انفعال و اتلافی با توابع تبدیل مثبت و اکیدا مثبت مطرح شده است. مثالهای خوبی آورده ام که در کتاب وجود ندارد.

مدت زمان این جلسه: 76 دقیقه

جلسه 23: کاربرد تئوری انفعال در کنترل تطبیقی

شاید یکی از بکرترین جلسات این آموزش این جلسه باشد. زیرا در این جلسه کاربرد تئوری انفعال در کنترل تطبیقی گفته شده است و مثالهای بسیار خوبی حل شده است. از این حیث این جلسه بکر است که می توان قوانین تطبیق جدیدی را در مبحث کنترل تطبیقی ارائه کرد و با به وجود آمدن پارامترهای بیشتری در قانون تطبیق و بدست آوردن آنها از طریق الگوریتم های بهینه سازی نتایج بهتری بدست آورد. ضمن آنکه در صورتی که بدنبال ارائه مقاله هستید با یادگیری این جلسه می توانید سطح مقاله خود را بالاتر ببرید.

مدت زمان این جلسه: 53 دقیقه

جلسه 24: پایداری مطلق

تا کنون برای بررسی پایداری سیستم ها از روش لیاپانف استفاده می کردیم اما در این جلسه برای دسته وسیعی از سیستم ها بدون استفاده از تابع لیاپانف و یا روش خطی سازی و برپایه روش نایکوئیست، تحلیل پایداری انجام می دهیم. در واقع سیستم های مورد مطالعه در این قسمت سیستم هایی هستند که در مسیر پیشرو یک سیستم خطی قرار دارد و در مسیر فیدبک یک تابع غیرخطی استاتیک وجود دارد. دو روش در این جلسه تشریح شده است. روش اول معیار پوپوف است که برای آنکه از نایکوئیست استفاده کنیم نیاز داریم که در حالت کلی از کد نویسی استفاده کنیم اما روش دوم که معیار دایره است نیازی به کد نویسی ندارد و با استفاده از اطلاعات کنترل خطی می توان نایکوئیست سیستم مورد نظر را رسم کرده و سپس پایداری آن را بررسی کنیم.

مدت زمان این جلسه: 58 دقیقه

جلسه 25: ساختن کران سیگنال – وجود و یکتایی پاسخ

یکی از موضوعاتی که دانشجویان وقتی به آن میرسند سرسری آن را مطالعه کرده و از آن رد می شوند مبحث ساختن کران سیگنال و وجود و یکتایی پاسخ است. در صورتیکه این موضوعات بسیار کاربردی هستند. ساختن کران سیگنال زمانی به درد می خورد که سیستم پایدار لیاپانف است اما پایدار مجانبی نیست. در این حالت قطعا در بی نهایت خطا خواهیم داشت. در این حالت اگر بتوانیم ماکزیمم خطای حالت ها یا خروجی را پیدا کنیم کار بزرگی انجام داده ایم. این تنها یکی از کاربردهای ساختن کران سیگنال هاست. در قسمت دوم این جلسه وجود و یکتایی پاسخ یک سیستم ناخودگردان بررسی می شود. مهمترین موضوع این قسمت شرط لیپشیتز است که یک شرط معقول برای سیستم های فیزیکی محسوب می شود گاهی در ساختن کران سیگنال این شرط خیلی به درد می خورد. 

مدت زمان این جلسه: 66 دقیقه

مطالعه بیشتر